Глаголы to understand, to realize, to grasp переводятся на русский язык как синонимы глагола "понимать" и различаются по дополнительной характеристике выражаемого ими понятия. Стилистически нейтральны.
Глагол to understand имеет наиболее широкое применение и означает "понимать, иметь ясное представление о чём-либо":
понять вопрос
понять сигнал
Лучше понять немного, чем не понять многого.
Он вдруг понял, что она ненавидела его много лет.
Глагол to understand также может употребляться в значении "я узнал, мне сказали". Однако в разговорной речи в данном значении чаще употребляются фразы:
я слышал
мне сказали
Я слышал, вы уходите из нашего отдела.
Мне сказали, что работу предоставили кому-то другому.
Глагол to realize предполагает не только понимание чего-либо, но и признание какого-либо факта.
Предложение "He realized his mistake" означает, что человек смог осознать свою ошибку, после того, как ему указали на неё.
Предложение "He didn't understand his mistake" будет понято как, "человек не осознал свою ошибку, даже после того, как ему на неё указали".
Я вскоре понял, что зря теряю время.
Вдруг он понял, что он в здании один.
Однако в некоторых случаях глаголы to understand и to realize имеют одинаковое значение и могут быть взаимозаменяемы:
Я понимаю, что вы чувствуете.
Они, кажется, не понимают важность упорной работы.
Глагол to grasp употребляется в значении "понять, ухватить мысль". В отличие от глагола to understand глагол to grasp имеет оттенок "иметь не очень ясное представление о чём идёт речь":
иметь кое-какое представление о предмете
уловить мысль
Извините, я не совсем понимаю, что вы хотите сказать.
Для тренировки навыков употребления рассмотренных глаголов предлагаем пройти тест на нашем сайте: Understand, realize, grasp.